Vièteove formule

Matematika · 2. razred · Kvadratna jednadžba

---

Zamislite da znate rješenja jednadžbe, ali ne znate samu jednadžbu. Ili obratno — znate jednadžbu, ali trebate nešto o rješenjima bez da ih zapravo računate. Vièteove formule su alat koji povezuje ta dva svijeta.

François Viète formulirao je ove veze još 1591. godine, a do danas ostaju jedan od najelegantnijih rezultata elementarne algebre.

---

Što su Vièteove formule?

Za kvadratnu jednadžbu ax² + bx + c = 0 s rješenjima x₁ i x₂ vrijedi:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Koeficijenti jednadžbe pamte njena rješenja — njihov zbroj i umnožak.

Upozorenje koje se najčešće zaboravlja: formula za zbroj ima minus ispred b/a. Formula za umnožak nema minus — samo c/a.

---

Zašto to vrijedi?

Krenimo od korijena. Ako su x₁ i x₂ rješenja jednadžbe, možemo je zapisati u faktoriziranom obliku:

$a(x - x_1)(x - x_2) = 0$

Razvijemo zagrade:

$a[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2] = 0$

$ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a \cdot x_1 x_2 = 0$

Usporedimo s originalnim oblikom ax² + bx + c = 0:

Koeficijent	Iz razvoja	Iz originala
uz x	−a(x₁ + x₂)	b
slobodni	a · x₁x₂	c

Iz prve jednakosti: x₁ + x₂ = −b/a
Iz druge: x₁ · x₂ = c/a

---

Poseban slučaj: a = 1

Kada je vodeći koeficijent jednak 1 (normirana jednadžba x² + bx + c = 0), formule postaju još jednostavnije:

$x_1 + x_2 = -b \qquad x_1 \cdot x_2 = c$

Na primjer, za x² − 5x + 6 = 0 odmah vidimo: zbroj korijena je 5, umnožak je 6. Bez računanja znamo da su korijeni 2 i 3.

---

Vježba 1

Prije nego što zapamtimo formule, otkrit ćemo ih sami. Postavit ćemo klizače za x₁ i x₂, promatrati kako se mijenja jednadžba i bilježiti obrasce u tablicu.

Što primijetiti: stupac b uvijek je suprotan zbroju korijena, a stupac c uvijek jednak umnošku.

Interaktivna vježba: Postavi x₁ i x₂ na različite vrijednosti, klikni Zapiši i promatraj tablicu. Koja veza uvijek vrijedi između stupaca?

---

Vježba 2 — Od uzorka do formule

Sada formaliziramo ono što smo otkrili. Prolaskom kroz četiri primjera vidjet ćemo kako formule funkcioniraju za a = 1, za negativan b i — najvažnije — za a ≠ 1.

Primjer s a ≠ 1:
Za 2x² − 10x + 12 = 0 s korijenima 2 i 3:

• x₁ + x₂ = 5, ali −b = 10 ≠ 5
• Tek kada podijelimo s a: −b/a = 10/2 = 5 ✓

Razlika između −b i −b/a najčešća je greška pri primjeni Vièteovih formula.

Zaključak:

$\boxed{x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}}$

---

Vježba 3 — Izračunaj bez rješavanja

Sada vježbamo brzu primjenu: čitamo koeficijente i odmah zapisujemo zbroj i umnožak. Pet zadataka s rastućom težinom.

Pedagoški ključ — zadatak s D < 0:
Jednadžba 2x² + 3x + 5 = 0 nema realnih rješenja (D < 0), ali Vièteove formule i dalje vrijede:

$x_1 + x_2 = -\frac{3}{2} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{5}{2}$

Korijeni su kompleksni, ali njihov zbroj i umnožak su realni. Formule nadilaze granice realne domene.

Interaktivna vježba: Za svaku jednadžbu prepoznaj a, b, c i izračunaj zbroj i umnožak korijena.

---

Vježba 4 — Rastavi na faktore

Znamo S i P — koristimo ih da pronađemo korijene, a onda napišemo faktorizaciju.

Za x² + x − 2 = 0: tražimo dva broja čiji je zbroj −1 i umnožak −2.
Odgovor: 1 i −2.
Faktorizacija: (x − 1)(x + 2) = 0

Granica metode: Za x² + 3x − 2 = 0 korijeni su iracionalni. Vièteove formule daju zbroj i umnožak, ali faktorizacija "pogađanjem" ne funkcionira. Formule rade i tamo gdje intuicija ne dopire.

Interaktivna vježba: Koristi S i P da nađeš korijene, zatim napiši faktorizaciju i provjeri je razvijanjem.

---

Vježba 5 — Sastavi jednadžbu

Obrnuti smjer: zadana su rješenja, a mi konstruiramo jednadžbu.

Ako su korijeni x₁ i x₂, jednadžba je:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$

• Korijeni 2 + √3 i 2 − √3 daju jednadžbu x² − 4x + 1 = 0 s cijelim koeficijentima — iracionalni dijelovi se ponište u zbroju i umnošku.
• Ako je jedan korijen 0, umnožak je 0, pa nema slobodnog člana: dobivamo x² − 5x = 0.

Interaktivna vježba: Unesi zadana rješenja, izračunaj S i P, napiši jednadžbu i provjeri je grafom.

---

Vježba 6 — Parametarski izazov

Formule primjenjujemo na zadatke s parametrima i simetričnim izrazima.

Suprotna rješenja: Za x² + px + 3 = 0, tražimo p takav da je x₁ = −x₂.
Uvjet: x₁ + x₂ = 0 → −p/1 = 0 → p = 0

Simetrični izraz bez rješavanja:
Za x² + 5x + 2 = 0, koliko je x₁² + x₂²?

Koristimo identitet: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂

$= (-5)^2 - 2 \cdot 2 = 25 - 4 = \mathbf{21}$

Nismo tražili x₁ i x₂ — dobili smo rezultat direktno iz koeficijenata.

Interaktivna vježba: Postupnim otkrivanjem — hint, korak, provjera — riješi zadatke s parametrima i simetričnim izrazima.

---

Sažetak

	Formula	Zamka
Zbroj korijena	x₁ + x₂ = −b/a	Zaboravljeni minus!
Umnožak korijena	x₁ · x₂ = c/a	Nema minusa
Rekonstrukcija jednadžbe	x² − Sx + P = 0	Minus ispred S

Vièteove formule vrijede uvijek — za realne, iracionalne i kompleksne korijene. Koeficijenti jednadžbe nose potpunu informaciju o njezinim rješenjima, čak i kada ta rješenja ne možemo izravno izračunati.

---