Sustav dviju linearnih jednadžbi i sjecište dvaju pravaca

Što je sustav dviju linearnih jednadžbi?

Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice sastoji se od dviju jednadžbi oblika:

$a_1 x + b_1 y = c_1$ $a_2 x + b_2 y = c_2$

Riješiti sustav znači pronaći par $(x, y)$ koji istovremeno zadovoljava obje jednadžbe.

---

Grafičko tumačenje: sjecište dvaju pravaca

Svaka linearna jednadžba s dvije nepoznanice predstavlja pravac u koordinatnom sustavu. Rješenje sustava je točka sjecišta tih dvaju pravaca.

Moguća su tri slučaja:

• Jedan par rješenja — pravci se sijeku u jednoj točki
• Nema rješenja — pravci su paralelni (isti nagib, različiti odsječci)
• Beskonačno mnogo rješenja — pravci se poklapaju (ista jednadžba)

---

Metoda supstitucije

Iz jedne jednadžbe izrazimo jednu nepoznanicu i uvrstimo u drugu.

Primjer: Riješite sustav:

$y = 2x - 1$ $3x + y = 9$

Korak 1: Iz prve jednadžbe već imamo $y = 2x - 1$.

Korak 2: Uvrstimo u drugu: $3x + (2x - 1) = 9$

$5x - 1 = 9$ $5x = 10$ $x = 2$

Korak 3: Vratimo u prvu: $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$

Rješenje: $(x, y) = (2, 3)$

Istraži metodu supstitucije

---

Metoda eliminacije (zbrajanja)

Pomnožimo jednadžbe tako da se jedna nepoznanica pokrati pri zbrajanju.

Primjer: Riješite sustav:

$2x + 3y = 12$ $4x - 3y = 6$

Korak 1: Zbrojimo jednadžbe — $y$ se pokrati:

$6x = 18 \Rightarrow x = 3$

Korak 2: Uvrstimo $x = 3$ u prvu jednadžbu:

$2 \cdot 3 + 3y = 12 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2$

Rješenje: $(x, y) = (3, 2)$

Istraži metodu suprotnih koeficijenata

---

Posebni slučajevi

Paralelni pravci — nema rješenja

$x + y = 3$ $x + y = 5$

Oba pravca imaju isti nagib ($k = -1$), ali različite odsječke. Ne sijeku se — sustav nema rješenja.

Poklapajući pravci — beskonačno rješenja

$2x + 4y = 8$ $x + 2y = 4$

Druga jednadžba je prva podijeljena s 2. Pravci se poklapaju — sustav ima beskonačno mnogo rješenja.

---

Kako prepoznati slučaj bez rješavanja?

Usporedimo koeficijente:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \Rightarrow \text{paralelni pravci (nema rješenja)}$

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \Rightarrow \text{isti pravac (beskonačno rješenja)}$

$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \Rightarrow \text{sjecište (jedno rješenje)}$

---

Rješenje sustava kao sjecište pravaca

Sustav dviju linearnih jednadžbi može imati:

• jedinstveno rješenje (određen sustav)
• beskonačno mnogo rješenja (neodređen sustav)
• nema rješenja (nemoguć sustav)

Ako jednadžbe sustava napišemo u obliku $y = a_1 x + b_1$ i $y = a_2 x + b_2$, one predstavljaju pravce.

---

Tri slučaja

1. Pravci se sijeku ($a_1 \neq a_2$)

Postoji točno jedna točka $(x_0, y_0)$ čije koordinate zadovoljavaju obje jednadžbe. Sustav ima jedinstveno rješenje.

2. Pravci se podudaraju ($a_1 = a_2$ i $b_1 = b_2$)

Koordinate svih točaka pravca zadovoljavaju obje jednadžbe. Sustav ima beskonačno mnogo rješenja — neodređen sustav.

3. Pravci su paralelni ($a_1 = a_2$ i $b_1 \neq b_2$)

Nema točke koja leži na oba pravca. Sustav nema rješenja — nemoguć sustav.

---