Problemi drugog stupnja

Matematika · 2. razred · Kvadratna jednadžba

---

Mnogi stvarni problemi — od dimenzija vrta do vremena putovanja — kada ih zapišemo algebarski, daju kvadratnu jednadžbu. Teškoća nije u rješavanju jednadžbe (to već znamo), nego u prevođenju problema iz riječi u simbole i u tumačenju dobivenih rješenja.

Kvadratna jednadžba u pravilu ima dva rješenja — ali stvarnost često prihvaća samo jedno. Negativna duljina, negativno vrijeme ili nerealna brzina automatski ispadaju.

---

Postupak rješavanja

1. Uvedi nepoznanicu — što je $x$? Zapiši jasno što predstavlja i u kojim jedinicama.
2. Izrazi ostale veličine preko $x$ koristeći uvjete iz zadatka.
3. Postavi jednadžbu — pronađi vezu koja povezuje te veličine (opseg, površina, Pitagorin poučak, $s = v \cdot t$, …).
4. Riješi kvadratnu jednadžbu.
5. Protumači rješenja — odbaci ona koja nemaju smisla u kontekstu (negativna duljina, brzina manja od nule, vrijeme izvan intervala).
6. Provjeri uvrstivanjem u uvjete zadatka, ne samo u jednadžbu.

Rješenje jednadžbe nije uvijek rješenje problema. Oduvijek provjeri kontekst.

---

Tipovi problema

Tip	Ključna veza	Primjer
Brojevni	zbroj, umnožak, kvadrat broja	"Umnožak dvaju uzastopnih brojeva je 156."
Geometrijski	opseg, površina, Pitagorin poučak	"Dijagonala pravokutnika je 13…"
Brzina–vrijeme	$s = v \cdot t$	"Auto prijeđe 240 km…"
Rad	$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t}$	"Dvije cijevi pune bazen…"

---

Primjer 1 — Okvir slike

Slika ima dimenzije 30 cm × 40 cm. Oko slike je okvir konstantne širine. Površina okvira iznosi ⅔ površine slike. Kolika je širina okvira?

Postavljanje. Neka je $x$ širina okvira (cm). Vanjske dimenzije slike s okvirom su $(30 + 2x)$ i $(40 + 2x)$.

Površina slike: $P_s = 30 \cdot 40 = 1200$ cm².

Površina okvira: $P_o = \frac{2}{3} \cdot 1200 = 800$ cm².

Površina okvira = vanjska površina − površina slike:

$(30 + 2x)(40 + 2x) - 1200 = 800$

$1200 + 140x + 4x^2 - 1200 = 800$

$4x^2 + 140x - 800 = 0 \Rightarrow x^2 + 35x - 200 = 0$

Rješavanje. $D = 1225 + 800 = 2025$, $\sqrt{D} = 45$.

$x_{1,2} = \frac{-35 \pm 45}{2} \Rightarrow x_1 = 5, \; x_2 = -40$

Tumačenje. Širina ne može biti negativna. Okvir je širok 5 cm.

Istraži okvir slike

---

Primjer 2 — Ograda vrta

Uz visoku ogradu želimo ograditi pravokutni vrt s 200 m žičane ograde. Površina vrta treba biti 4662 m². Kolike su stranice vrta?

Postavljanje. Jedna stranica vrta leži uz postojeću ogradu, pa se ne ograđuje — žicom ograđujemo tri stranice. Neka je $x$ stranica okomita na ogradu, a $y$ stranica paralelna s ogradom.

Iz duljine ograde: $2x + y = 200$, pa $y = 200 - 2x$.

Iz površine:

$x(200 - 2x) = 4662$

$2x^2 - 200x + 4662 = 0 \Rightarrow x^2 - 100x + 2331 = 0$

Rješavanje. $D = 10000 - 9324 = 676$, $\sqrt{D} = 26$.

$x_{1,2} = \frac{100 \pm 26}{2} \Rightarrow x_1 = 63, \; x_2 = 37$

Tumačenje. Oba rješenja su geometrijski prihvatljiva — daju dva moguća oblika vrta:

• $x = 63$ m → $y = 200 - 126 = 74$ m, vrt 63 m × 74 m
• $x = 37$ m → $y = 200 - 74 = 126$ m, vrt 37 m × 126 m

Provjera površine: $63 \cdot 74 = 4662$ ✓    $37 \cdot 126 = 4662$ ✓

Istraži ogradu vrta

---

Primjer 3 — Površina trokuta

Površina pravokutnog trokuta iznosi 24 cm². Jedna kateta je za 2 cm duža od druge. Kolike su duljine kateta?

Postavljanje. Neka je kraća kateta $x$, a duža $x + 2$. Katete pravokutnog trokuta ujedno su baza i visina:

$P = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 2) = 24$

$x(x + 2) = 48$

$x^2 + 2x - 48 = 0$

Rješavanje. $D = 4 + 192 = 196$, $\sqrt{D} = 14$.

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm 14}{2} \Rightarrow x_1 = 6, \; x_2 = -8$

Tumačenje. Duljina ne može biti negativna. Katete su 6 cm i 8 cm.

Istraži površinu trokuta

---

Najčešće zamke

Pogrešno uvedena nepoznanica. Ako $x$ predstavlja nešto "skriveno" (npr. razliku dvaju brojeva), jednadžba postaje teža nego što treba. Biraj $x$ koji pojednostavljuje veze.

Zaboravljene jedinice. U problemima s brzinom miješanje km/h i m/s vodi na pogrešan rezultat. Sve svedi na iste jedinice prije postavljanja jednadžbe.

Prihvaćanje oba rješenja. Uvijek se pitaj: može li ova veličina biti negativna? Može li biti veća od granice iz zadatka? Drugim riječima — provjeri domenu.

Zaboravljena provjera. Nakon što odbaciš neprihvatljiva rješenja, uvrsti preostalo u originalni uvjet (ne samo u jednadžbu) da potvrdiš rješenje.

---

Sažetak

Korak	Što napraviti
1. Uvedi $x$	Jasno definiraj što predstavlja, s jedinicama
2. Izrazi ostalo	Sve veličine u zadatku preko $x$
3. Postavi jednadžbu	Iskoristi ključnu vezu (formulu, uvjet)
4. Riješi	Kvadratna formula ili faktorizacija
5. Protumači	Odbaci rješenja koja nisu u domeni
6. Provjeri	Uvrsti u originalne uvjete zadatka

Problemi drugog stupnja nisu o računanju — oni su o prevođenju. Kvadratna jednadžba je samo alat; pravi posao je razumjeti što zadatak traži i prepoznati koja veza povezuje poznato s nepoznatim.