Primjena sustava linearnih jednadžbi

Usporedba zarada

Dva prijatelja, Ana i Bruno, rade studentske poslove s različitim uvjetima plaćanja.

• Ana zarađuje fiksnu dnevnicu od 20 € plus 5 € po satu rada.
• Bruno nema fiksnu dnevnicu, ali zarađuje 10 € po satu rada.

Postavimo sustav jednadžbi:

$y_A = 5x + 20$ $y_B = 10x$

gdje je $x$ broj odrađenih sati, a $y$ ukupna zarada u eurima.

Pitanje: Nakon koliko sati rada Bruno počne zarađivati više od Ane?

Izjednačimo zarade:

$5x + 20 = 10x$ $20 = 5x$ $x = 4$

Nakon 4 sata rada oboje zarađuju jednako ($y = 40$ €). Za manje od 4 sata Ana zarađuje više (zbog fiksne dnevnice), a za više od 4 sata Bruno zarađuje više (zbog veće satnice).

Istraži usporedbu zarada

---

Usporedba cijena dostave

Ana treba poslati paket i uspoređuje dvije dostavljačke službe:

• Brzak — za prvih 50 km dostave naplaćuje 0,20 €/km, a za svaki sljedeći kilometar 0,35 €/km.
• Ekoex — naknada od 5 € + za prvih 80 km 0,10 €/km, a za svaki sljedeći kilometar 0,25 €/km.

Cijena dostave za svaku službu ovisi o udaljenosti $d$ (u km):

Brzak:

$C_B(d) = \begin{cases} 0{,}20d & \text{ako } d \leq 50 \\ 10 + 0{,}35(d - 50) & \text{ako } d > 50 \end{cases}$

Ekoex:

$C_E(d) = \begin{cases} 5 + 0{,}10d & \text{ako } d \leq 80 \\ 13 + 0{,}25(d - 80) & \text{ako } d > 80 \end{cases}$

Pitanje: Za koje udaljenosti je koja služba povoljnija?

Za kratke udaljenosti ($d \leq 50$ km) izjednačimo:

$0{,}20d = 5 + 0{,}10d$ $0{,}10d = 5$ $d = 50 \text{ km}$

Za udaljenosti manje od 50 km Brzak je jeftiniji, a za veće udaljenosti treba usporediti složenije izraze. Istraži interaktivnim alatom!

Istraži usporedbu cijena dostave

---

Proizvodnja energije solarnih panela

Obitelj Kovač ugradila je solarne panele na kuću. Količina proizvedene energije (u kWh) ovisi o broju sunčanih sati dnevno. Istraživanjem su ustanovili:

• za prvih 2 sunčana sata panel proizvodi 3 kWh po satu
• od 2. do 5. sata proizvodi 5 kWh po satu
• svaki sat nakon 5. sata proizvodi 2 kWh po satu

Ukupna proizvedena energija $E(t)$ u ovisnosti o broju sunčanih sati $t$:

$E(t) = \begin{cases} 3t & \text{ako } 0 \leq t \leq 2 \\ 6 + 5(t - 2) & \text{ako } 2 < t \leq 5 \\ 21 + 2(t - 5) & \text{ako } t > 5 \end{cases}$

Primjer: Koliko energije proizvedu paneli za 7 sunčanih sati?

$E(7) = 21 + 2(7 - 5) = 21 + 4 = 25 \text{ kWh}$

Istraži proizvodnju solarnih panela