Primjena kvadratne funkcije

Primjena kvadratne funkcije

Mnogi problemi iz svakodnevnog života svode se na traženje maksimuma ili minimuma kvadratne funkcije.

Postupak rješavanja

1. Definiraj varijablu — odredi što je nepoznanica ($x$)
2. Postavi funkciju — izrazi traženu veličinu kao kvadratnu funkciju od $x$
3. Odredi domenu — uzmi u obzir ograničenja iz zadatka (duljina > 0, broj komada ≥ 0, …)
4. Nađi ekstrem — izračunaj tjeme $T(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a}, \qquad y_0 = f(x_0)$

5. Protumači rezultat — $x_0$ je optimalna vrijednost varijable, $y_0$ je optimalni rezultat
6. Provjeri pripada li $x_0$ domeni

---

Primjer 1: Najveći umnožak dvaju brojeva

Od svih brojeva $x$ i $y$ čiji je zbroj 12, treba pronaći ona dva za koja je umnožak $x \cdot y$ najveći.

Prvo razmisli: ako je $x + y = 12$, kako iz $x$ možemo dobiti $y$?

Istraži umnožak dvaju brojeva

---

Primjer 2: Najveća površina pravokutnika uz zid

Žicom duljine 80 m treba ograditi što veći pravokutnik tako da se on proteže uza zid. Zato mu jednu stranicu ne treba ograđivati.

Istraži pravokutnik uz zid

---

Primjer 3: Visina projektila

Visina projektila u metrima dana je formulom:

$h(t) = -5t^2 + 40t + 45$

gdje je $t$ vrijeme u sekundama od trenutka ispaljivanja.

a) S koje je visine ispaljen?

b) Koja mu je maksimalna visina?

c) Kad pada na zemlju?

Istraži visinu projektila

---

Primjer 4: Dupinov skok

Dupin iz mora skoči 4 m u visinu i preskoči splav širine 8 m koji pluta na vodi.

Postavimo koordinatni sustav tako da dupin iskoči iz vode u ishodištu $(0, 0)$ i padne natrag u vodu u točki $(d, 0)$, gdje je $d$ duljina skoka. Splav se nalazi točno na sredini skoka.

a) Funkcija putanje skoka

b) Duljina skoka

c) Udaljenost od dupina koji prolazi kroz obruč

Istraži dupinov skok

---

Primjer 5: Presjek čamca

Središnji presjek čamca ima oblik parabole:

$y = x^2 - 4x + 4$

Na sredini čamca nalazi se klupica širine 2 m.

Prvo razmisli: gdje se nalazi najniža točka čamca (dno)?

a) Dubina čamca (od klupice do dna)

b) Širina poda

Istraži presjek čamca

---