Parabola kao graf kvadratne funkcije
Kvadratna funkcija ili polinom drugoga stupnja jest svaka funkcija oblika:
f(x) = ax² + bx + c
gdje su a, b, c realni brojevi i a ≠ 0. Njezinu domenu čine svi realni brojevi.
Graf svake kvadratne funkcije jest krivulja koja se zove parabola.
Graf funkcije f(x) = ax²
Utjecaj koeficijenta a na oblik parabole
- Što je |a| veće → parabola je uža
- Što je |a| manje → parabola je šira
- a > 0 → parabola otvorena prema gore
- a < 0 → parabola otvorena prema dolje
Tjeme i os simetrije
Parabole oblika f(x) = ax² imaju tjeme u ishodištu (0, 0). Os simetrije je os y.
Zrcalna slika
Grafovi funkcija f(x) = ax² i f(x) = −ax² su zrcalne slike jedna druge s obzirom na os x.
Istraži graf funkcije f(x) = ax²
Ključna pravila
Oblik parabole ovisi o koeficijentu a.
Parabola je otvorena prema gore ako je a > 0 i prema dolje ako je a < 0.
Što je |a| veće, parabola je uža i obratno.
Graf kvadratne funkcije f(x) = ax² + c
Graf funkcije f(x) = ax² + c dobivamo translacijom grafa funkcije f(x) = ax²:
- za c u smjeru osi y
- gore ako je c > 0
- dolje ako je c < 0
Tjeme parabole je točka (0, c).
Os simetrije je os y.
Istraži graf funkcije f(x) = ax² + c
Graf kvadratne funkcije f(x) = a(x − x₀)²
Graf funkcije f(x) = a(x − x₀)² dobivamo translacijom grafa funkcije f(x) = ax²:
- za x₀ u smjeru osi x
- udesno ako je x₀ > 0
- ulijevo ako je x₀ < 0
Tjeme parabole je točka (x₀, 0).
Os simetrije je pravac x = x₀.
Istraži graf funkcije f(x) = a(x − x₀)²
Graf kvadratne funkcije f(x) = a(x − x₀)² + y₀
Graf funkcije f(x) = a(x − x₀)² + y₀ dobivamo translacijom parabole y = ax² s tjemenom u ishodištu u parabolu s tjemenom u T(x₀, y₀).
Tjeme parabole je točka (x₀, y₀). Os simetrije je pravac x = x₀.
Istraži graf funkcije f(x) = a(x − x₀)² + y₀
Kako odrediti jednadžbu parabole sa grafa
- Očitaj tjeme T(x₀, y₀) sa grafa
- Uvrsti u oblik y = a(x − x₀)² + y₀
- Uvrsti još jednu poznatu točku (npr. ishodište) i izračunaj a
Primjer
Sa grafa: tjeme T(3, −1), parabola prolazi ishodištem (0, 0).
Uvrstimo x₀ = 3, y₀ = −1:
y = a(x − 3)² − 1
Uvrstimo točku (0, 0):
0 = a(0 − 3)² − 1 → a = 1/9
Jednadžba parabole: f(x) = ⅑(x − 3)² − 1
Graf kvadratne funkcije f(x) = ax² + bx + c
Svaka kvadratna funkcija f(x) = ax² + bx + c može se zapisati u obliku potpunog kvadrata:
f(x) = a(x − x₀)² + y₀
Tjeme parabole T(x₀, y₀)
Ordinata tjemena y₀ može se dobiti i uvrštavanjem x₀ = −b/2a u jednadžbu parabole.
Oblik parabole
- a > 0 → parabola otvorena prema gore, tjeme T je najniža točka
- a < 0 → parabola otvorena prema dolje, tjeme T je najviša točka
- Što je |a| veći → parabola je uža
- Što je |a| manji → parabola je šira
Parabola je simetrična s obzirom na pravac x = x₀ koji prolazi njezinim tjemenom T.
Kako nacrtati parabolu
- Izračunaj tjeme: x₀ = −b/2a, y₀ = f(x₀)
- Nacrta parabolu y = ax²
- Translatira je tako da tjeme (0, 0) premjestiš u točku T(x₀, y₀)
Primjer: f(x) = ½x² − 3x + 5/2
x₀ = −(−3) / (2 · ½) = 3
y₀ = ½ · 9 − 3 · 3 + 5/2 = −2
Tjeme: T(3, −2), parabola okrenuta prema gore.
Istraži graf funkcije f(x) = ax² + bx + c
Graf funkcije y = √x
Funkcija y = √x je inverzna funkcija od y = x² na intervalu [0, +∞).
Zašto nije cijela parabola?
Funkcija y = x² nema inverz na cijeloj domeni jer za y > 0 postoje dva rješenja: x = +√y i x = −√y.
Ako suzimo domenu na [0, +∞), kvadratna funkcija y = x² ima jednoznačno rješenje x = √y — to je njen inverz.
Inverzni par
| Funkcija | Domena |
|---|---|
| f(x) = x² | x ∈ [0, +∞) |
| f⁻¹(x) = √x | x ∈ [0, +∞) |
Grafovi su simetrični s obzirom na pravac y = x.
Tablica vrijednosti za y = √x
| x | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| √x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Graf funkcije y = √x polazi iz ishodišta, raste prema gore i desno, ali sve sporije — za razliku od parabole koja raste sve brže.
