Nultočke kvadratne funkcije
Broj x₀ jest nultočka funkcije y = f(x) ako je f(x₀) = 0.
Nultočke kvadratne funkcije f(x) = ax² + bx + c jesu rješenja x₁ i x₂ kvadratne jednadžbe ax² + bx + c = 0.
To su apscise točaka u kojima parabola siječe os x.
Veza nultočaka i tjemena
Os simetrije parabole prolazi tjemenom i spojnicom nultočaka (x₁, 0) i (x₂, 0).
Apscisa tjemena x₀ je aritmetička sredina nultočaka:
Tri slučaja (diskriminanta D = b² − 4ac)
| D | Nultočke | Položaj parabole |
|---|---|---|
| D > 0 | dvije različite nultočke x₁ i x₂ | siječe os x u dvjema točkama |
| D = 0 | jedna (dvostruka) nultočka | dotiče os x u tjemenu |
| D < 0 | nema realnih nultočaka | ne siječe os x |
Kako nacrtati parabolu
- Izračunaj nultočke (ako postoje): ax² + bx + c = 0
- Izračunaj tjeme: x₀ = (x₁ + x₂)/2, y₀ = f(x₀)
- Pronađi sjecište s osi y: M(0, c)
- Dodaj simetričnu točku M-u s obzirom na os simetrije
- Povuci parabolu kroz sve točke
Primjer: f(x) = ½x² − x − 3/2
Nultočke: x₁ = 3, x₂ = −1
Tjeme: x₀ = (3−1)/2 = 1, y₀ = −2 → T(1, −2)
Sjecište s osi y: M(0, −3/2)
Parabola je otvorena prema gore (a = ½ > 0).
Primjer: f(x) = ½x² − x + ½
Discriminanta: D = 1 − 4·½·½ = 0 → jedna dvostruka nultočka x = 1
Tjeme je ujedno nultočka: T(1, 0). Parabola dotiče os x u jednoj točki.
Primjer: f(x) = −x² + x − 1
D = 1 − 4 = −3 < 0 → nema realnih nultočaka
Parabolu nacrtamo uz pomoć tjemena i dodatnih točaka bez sjecišta s osi x.
Istraži nultočke kvadratne funkcije
Presjek parabole i pravca
Nultočke kvadratne funkcije f(x) = ax² + bx + c možemo shvatiti kao određivanje presjeka parabole y = ax² + bx + c i pravca y = 0.
Općenitiji problem je određivanje presjeka parabole y = ax² + bx + c i pravca y = kx + l.
Tri slučaja
| Diskriminanta | Presjek | Naziv |
|---|---|---|
| D > 0 | dvije zajedničke točke | pravac je sekanta parabole |
| D = 0 | jedna zajednička točka | pravac je tangenta parabole (dotiralište) |
| D < 0 | nema zajedničkih točaka | pravac i parabola se ne sijeku |
Kako pronaći presjek
- Izjednači jednadžbe: ax² + bx + c = kx + l
- Sredi u oblik ax² + (b−k)x + (c−l) = 0
- Izračunaj diskriminantu D = (b−k)² − 4a(c−l)
- Nađi x-koordinate presjeka i uvrsti u jednadžbu pravca za y
Primjeri
Sekanta (D > 0): y = x² − 2x − 3 i y = x + 1
x₁ = −1, x₂ = 4 → presjeci u točkama (−1, 0) i (4, 5)
Tangenta (D = 0): y = 4x² − 2x + 2 i y = 2x + 1
x = ½ → presjek u točki (½, 2)
Nema presjeka (D < 0): y = x² − x + 2 i y = 2x − 3
D < 0 → parabola i pravac nemaju zajedničkih točaka
