Maksimum i minimum kvadratne funkcije

Nultočke i tjeme kvadratne funkcije

Nultočke kvadratne funkcije $f(x) = ax^2 + bx + c$ su rješenja jednadžbe $ax^2 + bx + c = 0$.

Broj nultočaka ovisi o diskriminanti $D = b^2 - 4ac$:

Diskriminanta	Nultočke	Položaj parabole
$D > 0$	dvije različite: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$	siječe os $x$ u dvjema točkama
$D = 0$	jedna dvostruka: $x_1 = -\frac{b}{2a}$	dotiče os $x$ u tjemenu
$D < 0$	nema realnih nultočaka	ne siječe os $x$

Tjeme parabole $T(x_0, y_0)$ ima koordinate:

$x_0 = -\frac{b}{2a}, \qquad y_0 = f(x_0) = \frac{4ac - b^2}{4a}$

Apscisa tjemena $x_0$ je ujedno aritmetička sredina nultočaka: $x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

Istraži nultočke i tjeme

---

Minimum i maksimum kvadratne funkcije

Funkcija f(x) = ax² + bx + c postiže:

• minimalnu vrijednost (minimum) y₀ ako je a > 0
• maksimalnu vrijednost (maksimum) y₀ ako je a < 0

Minimum ili maksimum postiže se u tjemenu parabole, tj. za x₀ = −b/2a.

---

Slika (skup vrijednosti) kvadratne funkcije

Koeficijent	Ekstrem	Slika funkcije
a > 0	minimum y₀	[y₀, +∞)
a < 0	maksimum y₀	(−∞, y₀]

Slika kvadratne funkcije ne obuhvaća sve realne brojeve — uvijek je ograničena s jedne strane vrijednošću y₀.

Istraži minimum i maksimum

---

Tijek kvadratne funkcije

Kvadratna funkcija f(x) = ax² + bx + c je rastuća na jednoj strani tjemena i padajuća na drugoj — ovisno o predznaku koeficijenta a.

---

Pravila

a > 0 (parabola prema gore)	a < 0 (parabola prema dolje)
pada za x ∈ (−∞, x₀⟩	raste za x ∈ (−∞, x₀⟩
raste za x ∈ ⟨x₀, +∞)	pada za x ∈ ⟨x₀, +∞)
minimum u tjemenu	maksimum u tjemenu

gdje je x₀ = −b/2a apscisa tjemena.

---

Primjer: f(x) = x² + 3x + ¼

Koordinate tjemena:

x₀ = −3/2    y₀ = −2    →    T(−3/2, −2)

Parabola otvorena prema gore → funkcija postiže minimum u tjemenu.

• pada za x ∈ (−∞, −3/2⟩
• raste za x ∈ ⟨−3/2, +∞)

---

Kako odrediti funkciju iz uvjeta

Ako znamo:

• tjeme parabole T(x₀, y₀)
• još jednu točku na grafu (npr. f(0))

Uvrstimo u oblik f(x) = a(x − x₀)² + y₀ i izračunamo koeficijent a.

Primjer: tjeme T(½, 0), f(0) = −2

f(x) = a(x − ½)²

−2 = a(0 − ½)² → a = −8

f(x) = −8x² + 8x − 2

Istraži tijek kvadratne funkcije