Logaritamske funkcije

Matematika · 3. razred · Eksponencijalne i logaritamske funkcije

---

Logaritamska funkcija nije nova ideja — to je eksponencijalna funkcija gledana u zrcalu. Ono što eksponencijalna "skriva" u eksponentu, logaritamska "izvlači" na površinu. Zato joj je graf zrcalni odraz eksponencijalne oko pravca $y = x$.

---

Definicija

Logaritamska funkcija je funkcija oblika:

$f(x) = \log_a x, \quad a > 0, \quad a \neq 1$

gdje je $a$ baza, a $x$ argument (uvijek pozitivan).

Domena je skup svih pozitivnih realnih brojeva $(0, +\infty)$. Kodomena su svi realni brojevi $\mathbb{R}$ — logaritam može biti negativan, pozitivan ili nula.

Logaritamska funkcija je inverz eksponencijalne funkcije iste baze: ako je $g(x) = a^x$, onda je $f(x) = \log_a x$ njezin inverz.

---

Zrcaljenje oko pravca $y = x$ — ključna ideja

Graf $y = \log_a x$ nastaje zrcaljenjem grafa $y = a^x$ oko pravca $y = x$. Svaka točka $(x, y)$ na eksponencijalnoj postaje $(y, x)$ na logaritamskoj.

Točka na $y = 2^x$	Točka na $y = \log_2 x$
$(-2,\ \frac{1}{4})$	$(\frac{1}{4},\ -2)$
$(-1,\ \frac{1}{2})$	$(\frac{1}{2},\ -1)$
$(0,\ 1)$	$(1,\ 0)$
$(1,\ 2)$	$(2,\ 1)$
$(2,\ 4)$	$(4,\ 2)$
$(3,\ 8)$	$(8,\ 3)$

Svaka logaritamska funkcija prolazi kroz točku $(1, 0)$ jer je $\log_a 1 = 0$ za svaku bazu.

---

Rast i pad — uloga baze

Uvjet	Oblik grafa	Primjer
$a > 1$	Raste	$f(x) = \log_2 x,\ \log_{10} x,\ \ln x$
$0 < a < 1$	Pada	$f(x) = \log_{1/2} x$
$a = 1$	Nije definirano	—

Vertikalna asimptota je uvijek $x = 0$ — graf se približava osi $y$ ali je nikad ne dodirne.

Za $a > 1$:

• $f(x) < 0$ za $0 < x < 1$
• $f(1) = 0$
• $f(x) > 0$ za $x > 1$

Za $0 < a < 1$ vrijedi obratno.

---

Simetrija: $\log_a x$ i $\log_{1/a} x$

Funkcije $f(x) = \log_2 x$ i $g(x) = \log_{1/2} x$ su simetrične obzirom na os $x$.

Razlog: $\log_{1/a} x = -\log_a x$

$x$	$\log_2 x$	$\log_{1/2} x$
$\frac{1}{4}$	$-2$	$2$
$\frac{1}{2}$	$-1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$2$	$1$	$-1$
$4$	$2$	$-2$

Vrijednosti su suprotne po predznaku — što je $\log_2 x$ za neki $x$, negativno je od $\log_{1/2} x$.

---

Dekadski i prirodni logaritam

Dvije baze se koriste toliko često da imaju posebne oznake:

• Dekadski logaritam (baza 10): $\log x = \log_{10} x$
• Prirodni logaritam (baza $e \approx 2{,}718$): $\ln x = \log_e x$

Svi kalkulatori imaju tipke log i ln. Za bilo koju drugu bazu koristi se formula za promjenu baze:

$\log_a x = \frac{\log x}{\log a} = \frac{\ln x}{\ln a}$

---

Najčešće greške

$\log_a(-3) \neq$ broj — argument logaritma mora biti pozitivan. Logaritam negativnih brojeva i nule ne postoji.

$\log_a 1 \neq 1$ — logaritam jedinice je uvijek $0$, za svaku bazu: $\log_a 1 = 0$.

$\log(a + b) \neq \log a + \log b$ — ne postoji pravilo za zbrajanje unutar argumenta. Pravilo $\log(a \cdot b) = \log a + \log b$ vrijedi samo za množenje.

$\log(a^n) \neq (\log a)^n$ — eksponent se spušta ispred logaritma: $\log(a^n) = n \cdot \log a$.

---

Vježbe

[Vježba 1 — Zrcalo inverza]

Interaktivni graf s $y = 2^x$, pravcem $y = x$ i $y = \log_2 x$ na istom sustavu. Točke se zamjenjuju u stvarnom vremenu — $(x,\ 2^x)$ postaje $(2^x,\ x)$. Učenik otkriva domenu, asimptotu i točku $(1, 0)$.

[Vježba 2 — Slider baze]

Klizač mijenja bazu $a$ od $0{,}1$ do $5$. Graf logaritamske funkcije i oznaka (RASTE / PADA) ažuriraju se uživo. Prijelaz kroz $a = 1$ nije definiran — jasno vidljivo.

[Vježba 3 — Pronađi grešku]

Šest krivih postupaka — učenik identificira gdje je greška. Pokriva: negativan argument, $\log 1$, zbrajanje unutar argumenta, brkanje $\log(a^n)$ i $(\log a)^n$.

[Vježba 4 — $\log_2 x$ vs $\log_{1/2} x$ — zrcalo]

Dva grafa na istom koordinatnom sustavu. Tablica s usporednim vrijednostima. Učenik otkriva simetriju oko osi $x$ i algebarski razlog: $\log_{1/a} x = -\log_a x$.

[Vježba 5 — Promjena baze]

Kalkulator ima samo $\log$ i $\ln$. Kako izračunati $\log_7 50$? Učenik koristi formulu za promjenu baze i numerički provjerava rezultat.

---

Sažetak svojstava

Svojstvo	$f(x) = \log_a x,\ a > 1$	$f(x) = \log_a x,\ 0 < a < 1$
Smjer	Raste	Pada
Domena	$(0, +\infty)$	$(0, +\infty)$
Kodomena	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
$f(1)$	$0$	$0$
Asimptota	$x = 0$	$x = 0$