Što je linearna funkcija?

Postoje različite vrste funkcija: linearne, eksponencijalne, kvadratne, logaritamske... Najjednostavnije su linearne funkcije. Linearna funkcija polinom je prvoga stupnja.

Ako ulaznu vrijednost označimo s x, a izlaznu s y, linearna je funkcija oblika:

y = kx + l

gdje su k i l zadani realni brojevi i k ≠ 0.

Realne brojeve k i l zovemo koeficijentima: k je linearni, a l slobodni koeficijent.

Možemo pisati f(x) = kx + l i onda je y = f(x).

---

Graf linearne funkcije

Ako u koordinatni sustav ucrtamo sve točke (x, y) kojima je apscisa ulazna vrijednost (nezavisna varijabla), a ordinata izlazna vrijednost (zavisna varijabla) neke funkcije, dobit ćemo graf te funkcije.

Linearna funkcija zadana je jednadžbom y = kx + l.

Ako u jednadžbu uvrstimo x = 0, dobivamo y = l, a za x = 1 dobivamo y = k + l.

Dobili smo dvije točke grafa linearne funkcije: (0, l) i (1, k + l).

Pravac povučen kroz te dvije točke čini graf linearne funkcije y = kx + l.

Graf linearne funkcije jest pravac čija je jednadžba y = kx + l.

Istraži koeficijente $k$ i $l$

Popuni tablicu i nacrtaj graf

---

Kako nacrtati graf linearne funkcije?

Dovoljno je odrediti dvije točke grafa. Najlakše je uvrstiti x = 0 i još jednu vrijednost x, izračunati odgovarajuće y-vrijednosti, ucrtati točke u koordinatni sustav i povući pravac kroz njih.

Primjer: Nacrtaj graf linearne funkcije y = 2/3 · x − 1.

Odredimo dvije točke:

x	0	3
y	−1	1

Ucrtamo ih u koordinatni sustav i povučemo pravac.

---

Nultočka linearne funkcije

Vrijednost x = x₀ je nultočka funkcije y = f(x) ako je f(x₀) = 0.

Graf y = f(x) siječe os x u točki (x₀, 0).

Kako naći nultočku? Uvrstimo y = 0 u jednadžbu i riješimo po x.

Primjer: Odredi nultočku funkcije y = x + 1.

Uvrstimo y = 0: 0 = x + 1, pa je x = −1. Nultočka je −1.

Pronađi nultočku na grafu

Gdje graf siječe os $x$? Pronađi $x_0$ za koji je $f(x_0) = 0$.

---

Pravac i njegova jednadžba

Vidjeli smo da je graf linearne funkcije y = kx + l pravac. Linearni koeficijent k određuje nagib toga pravca pa ga zato zovemo nagib ili koeficijent smjera.

---

Koeficijent smjera k

Ovisno o predznaku koeficijenta smjera k, pravac može biti:

• k > 0 — nagib je pozitivan, pravac raste (ide od dolje lijevo prema gore desno)
• k < 0 — nagib je negativan, pravac pada (ide od gore lijevo prema dolje desno)
• k = 0 — pravac nema nagiba, funkcija je konstantna y = l (horizontalni pravac)

---

Slobodni koeficijent l

Slobodni koeficijent l određuje odsječak pravca na osi y pa ga zato zovemo odsječkom na osi y.

To je vrijednost y u točki gdje pravac sijece os y, odnosno vrijednost funkcije za x = 0.

Nagib i pomak — kako $k$ i $l$ oblikuju pravac?

Promijeni $k$ za rotaciju pravca, zatim $l$ za pomak gore/dolje. Promatraj kako trokut nagiba ostaje isti na svim paralelnim pravcima.

---

Kako nacrtati pravac?

Dovoljno je odrediti dvije točke. Najlakše je:

1. Uvrstiti x = 0 → dobivamo točku (0, l)
2. Odabrati još jednu vrijednost x, uvrstiti u jednadžbu i izračunati y
3. Ucrtati obje točke i povući pravac kroz njih

Primjer: Nacrtaj pravac zadan jednadžbom y = 2x − 3/2.

Odsječak je l = −3/2. Za x = 1 izračunamo y = 1/2. Nacrtamo pravac koji sijece os y u −3/2 i prolazi točkom (1, 1/2).

Nacrtaj pravac po jednadžbi

Zadana je jednadžba $y = kx + l$. Tapni dvije točke na mreži i povuci pravac kroz njih.

---

Posebni slučajevi pravaca

• y − 4 = 0, odnosno y = 4 — pravac je paralelan s osi x i sijece os y u y = 4
• 2x − 5 = 0, odnosno x = 5/2 — pravac je paralelan s osi y i sijece os x u x = 5/2

Horizontalni i vertikalni pravci

Prepoznaj i nacrtaj posebne slučajeve pravaca: $y = c$ (horizontalni) i $x = c$ (vertikalni).

---

Kako odrediti jednadžbu pravca s grafa?

Jednadžba pravca je oblika y = kx + l.

Korak 1: Očitaj odsječak l — vrijednost y u točki gdje pravac sijece os y.

Korak 2: Odredi koeficijent smjera k — odaberi jednu točku pravca (x, y) i uvrsti u y = kx + l, pa izrazi k.

Primjer a) Pravac prolazi točkom (2, 5) i odsječak je l = 2.

Uvrstimo u y = kx + l: 5 = k · 2 + 2, pa je k = 3/2.

Tražena jednadžba je y = 3/2 · x + 2.

Primjer b) Ako ne možemo precizno očitati l, uočimo dvije istaknute točke, npr. (2, 0) i (−1, 4), i uvrstimo njihove koordinate u y = kx + l. Dobivamo sustav:

• 0 = k · 2 + l
• 4 = k · (−1) + l

Od prve jednadžbe oduzmemo drugu: −4 = 3k, pa je k = −4/3.

Uvrstimo k u jednu od jednadžbi i dobijemo l = 8/3.

Tražena jednadžba je y = −4/3 · x + 8/3.

Odredi jednadžbu pravca s grafa

Prikazan je pravac s dvije istaknute točke. Odredi koeficijent smjera $k$ i odsječak $l$.

Izračunaj jednadžbu pravca kroz dvije točke

Zadane su dvije točke na grafu. Odredi jednadžbu pravca korak po korak: izračunaj $k$, uvrsti za $l$, zapiši jednadžbu.

Pravci paralelni s koordinatnim osima

Pravac paralelan s osi x ima jednadžbu oblika y = l, gdje je l konstanta.

Pravac paralelan s osi y ima jednadžbu oblika x = a, gdje je a konstanta.

Pravac paralelan s osi y nije graf linearne funkcije — nema nagib ni odsječak na osi y.

Istraži: pravac $y = c$

Povuci točku lijevo-desno po pravcu. U tablici se zapisuju koordinate — npr. $(-3, 1)$, $(0, 1)$, $(2, 1)$... Što primjećuješ?

Sliderom $c$ pomakni pravac gore ili dolje. Jednadžba $y = c$ se ažurira uživo. Postavi $c = 0$ — pravac se spoji s osi $x$.

Istraži: pravac $x = c$

Povuci točku gore-dolje po pravcu. U tablici se zapisuju koordinate — npr. $(2, -3)$, $(2, 0)$, $(2, 4)$... Što primjećuješ? $x$ nikad ne mijenja vrijednost.

$x$ je zaključan na 2 — pravac $x = c$ je vertikalan, ne horizontalan.

Sliderom $c$ pomakni pravac lijevo-desno. Jednadžba $x = c$ se ažurira uživo. Postavi $c = 0$ — pravac se spoji s osi $y$.

Vertikalni pravac $x = c$ nije funkcija — za istu vrijednost $x$ postoji beskonačno mnogo vrijednosti $y$.

---

Primjena linearne funkcije

Linearna funkcija $y = kx + l$ pojavljuje se u mnogim stvarnim situacijama gdje se dvije veličine mijenjaju proporcionalno ili linearno.

Ključne veze

• Nagib $k$ opisuje brzinu promjene — koliko se $y$ mijenja kad se $x$ poveća za 1.
• Odsječak $l$ opisuje početnu vrijednost — vrijednost od $y$ kada je $x = 0$.
• Veći nagib → strmiji graf → brža promjena.

Primjeri primjene

Sjene i svjetlost — visina sjene raste linearno s udaljenošću od izvora svjetlosti. Zraka svjetlosti koja prolazi vrhom predmeta opisuje pravac oblika $y = kx$.

Krema za sunčanje — maksimalno dopušteno vrijeme boravka na suncu sa zaštitom računa se formulom:

$t_{sz} = t_{bz} \cdot ZF$

gdje je $t_{bz}$ maksimalno vrijeme bez zaštite, a $ZF$ zaštitni faktor.

Broj cipele — u većini europskih zemalja broj cipele određuje se funkcijom $B = x + 14$, gdje je $x$ duljina stopala u centimetrima.

Rasporedi i vremena — linearna funkcija opisuje kašnjenje, trajanje izlaska ili bilo koji proces koji teče jednakomjerno u vremenu.