Kvadratne nejednadžbe

Definicija

Kvadratne nejednadžbe su nejednadžbe koje uz moguće slobodne i linearne članove sadržavaju i kvadratni član. Svaka se uvijek može svesti na jedan od četiri oblika:

$ax^2 + bx + c > 0 \qquad ax^2 + bx + c \geq 0$

$ax^2 + bx + c < 0 \qquad ax^2 + bx + c \leq 0$

Glavna ideja rješavanja

Budući da je na lijevoj strani nejednadžbe vrijednost kvadratne funkcije y = ax² + bx + c, promatramo njezin graf — parabolu.

Postupak:

1. Odredi nultočke kvadratne funkcije
2. Odredi sve brojeve x za koje je parabola iznad osi x (vrijednosti funkcije pozitivne) ili ispod osi x (vrijednosti negativne)

Šest mogućih slučajeva

Ovisno o predznacima vodećeg koeficijenta a i diskriminante D, imamo 6 različitih slučajeva:

	D > 0	D < 0	D = 0
a > 0	dvije nultočke x₁, x₂; funkcija negativna između njih, pozitivna izvan	nema nultočaka; funkcija je uvijek pozitivna	dvostruka nultočka x₁ = x₂; funkcija ≥ 0 svuda
a < 0	dvije nultočke x₁, x₂; funkcija pozitivna između njih, negativna izvan	nema nultočaka; funkcija je uvijek negativna	dvostruka nultočka x₁ = x₂; funkcija ≤ 0 svuda

Istraži kvadratne nejednadžbe

Parabola prema gore — gdje je ispod osi x?

Smjer parabole određuje rezultat

Parabola prema gore ($a > 0$):

• ispod osi x → između nultočaka
• iznad osi x → izvan nultočaka (unija dva intervala)

Parabola prema dolje ($a < 0$):

• iznad osi x → između nultočaka
• ispod osi x → izvan nultočaka (unija dva intervala)

Uvijek prvo pogledaj smjer parabole, pa tek onda smjer nejednakosti.

Strogi vs nestrogi znakovi

Razlika je samo u tome jesu li rubne točke (nultočke) uključene:

• Strogi $<$ i $>$ → rubne točke nisu dio rješenja → okrugle zagrade $\langle \ \rangle$
• Nestrogi $\leq$ i $\geq$ → rubne točke jesu dio rješenja → uglate zagrade $[ \ ]$

Kod beskonačnosti uvijek okrugle zagrade: $\langle -\infty, 1]$, nikad $[-\infty, 1]$.

Granični slučajevi

Dvostruka nultočka ($D = 0$) — parabola dotiče os x ali je ne prelazi. Ovisno o smjeru nejednakosti, rješenje može biti prazan skup, jedna točka, $\mathbb{R} \setminus \{x_0\}$, ili cijeli $\mathbb{R}$.

Nema realnih nultočaka ($D < 0$) — parabola leži u potpunosti iznad ili ispod osi x. Rješenje je ili prazan skup $\emptyset$, ili cijeli skup realnih brojeva $\mathbb{R}$.

Istraži dvije parabole