Koordinatni sustav

Što je koordinatni sustav?

Pravokutni (Kartezijev) koordinatni sustav u ravnini sastoji se od dviju okomitih brojevnih pravaca koje se sijeku u točki koju nazivamo ishodište i označavamo s $O$.

• Os $x$ (apscisa) — vodoravni brojevni pravac
• Os $y$ (ordinata) — okomiti brojevni pravac
• Ishodište $O(0, 0)$ — sjecište dviju osi

Svaka točka u ravnini jednoznačno je određena uređenim parom brojeva $(x, y)$, koji nazivamo koordinatama te točke.

Koordinate točke: $A(x, y)$ znači da je $x$ udaljenost od osi $y$ (lijevo-desno), a $y$ udaljenost od osi $x$ (gore-dolje).

---

Isprobaj na interaktivnom grafu

Klikni na bilo koju označenu točku — animacija će ti pokazati kako se čitaju koordinate korak po korak.

---

Kako ucrtati točku u koordinatni sustav?

Zadana je točka, npr. $T(3, -2)$. Da bismo je ucrtali:

Korak 1. Od ishodišta idemo 3 koraka udesno po osi $x$ (jer $x = 3$).

Korak 2. Zatim idemo 2 koraka dolje po osi $y$ (jer $y = -2$).

Korak 3. Označimo točku na tom mjestu.

Česta greška: Zamjena $x$ i $y$ koordinata! Uvijek prvo brojiš po osi $x$ (lijevo-desno), pa tek onda po osi $y$ (gore-dolje).

Vježbaj ucrtavanje

Ucrtaj zadane točke klikom na mrežu — widget će animirati provjeru tvog odgovora.

---

Četiri kvadranta

Osi $x$ i $y$ dijele ravninu na četiri dijela koje nazivamo kvadrantima:

Kvadrant	Položaj	Predznaci koordinata
I. kvadrant	gore desno	$x > 0$, $y > 0$
II. kvadrant	gore lijevo	$x < 0$, $y > 0$
III. kvadrant	dolje lijevo	$x < 0$, $y < 0$
IV. kvadrant	dolje desno	$x > 0$, $y < 0$

Napomena: Točke koje leže na osima ne pripadaju nijednom kvadrantu.

Objašnjenje 2.

Odredi u kojem se kvadrantu nalaze sljedeće točke:

• $A(2, 5)$ — obje koordinate pozitivne → I. kvadrant
• $B(-3, 7)$ — $x < 0$, $y > 0$ → II. kvadrant
• $C(-1, -4)$ — obje koordinate negativne → III. kvadrant
• $D(6, -2)$ — $x > 0$, $y < 0$ → IV. kvadrant
• $E(0, 3)$ — leži na osi $y$ → ne pripada nijednom kvadrantu

Vježbaj određivanje kvadranata

---

Udaljenost između dviju točaka na istom pravcu

Kada dvije točke leže na istom vodoravnom ili istom okomitom pravcu, udaljenost između njih računamo jednostavno:

Točke na istoj vodoravnoj liniji (isti $y$)

$d = |x_2 - x_1|$

Točke na istoj okomitoj liniji (isti $x$)

$d = |y_2 - y_1|$

Objašnjenje 3.

a) Izračunaj udaljenost između točaka $A(2, 3)$ i $B(7, 3)$.

Točke imaju isti $y = 3$, pa leže na istoj vodoravnoj liniji:

$d = |7 - 2| = |5| = 5$

b) Izračunaj udaljenost između točaka $C(-1, 4)$ i $D(-1, -3)$.

Točke imaju isti $x = -1$, pa leže na istoj okomitoj liniji:

$d = |-3 - 4| = |-7| = 7$

---

Ucrtavanje točaka iz tablice

Često su točke zadane tablicom vrijednosti. Svaki par $(x, y)$ iz tablice ucrtamo kao jednu točku.

Objašnjenje 4.

Ucrtaj točke zadane tablicom:

$x$	$-3$	$-1$	$0$	$2$	$4$
$y$	$4$	$0$	$-2$	$1$	$3$

Ucrtavamo redom: $(-3, 4)$, $(-1, 0)$, $(0, -2)$, $(2, 1)$, $(4, 3)$.

---

Skupovi točaka u koordinatnoj ravnini

Ponekad nas zanima: gdje se nalaze sve točke koje zadovoljavaju određeni uvjet?

Na primjer, pitanje "Gdje se nalaze točke kojima je $x > 4$?" opisuje cijelo područje — sve točke desno od vertikalnog pravca $x = 4$.

Povlači granicu na interaktivnom grafu i promatraj kako se osjenčano područje mijenja:

---

Pojam funkcije

Funkcija je pravilo koje svakom elementu jednog skupa pridružuje točno jedan element drugog skupa.

Zapisujemo:

$f \colon A \to B, \quad x \mapsto y = f(x)$

• $A$ — domena (skup na kojem je funkcija definirana)
• $B$ — kodomena
• $x$ — nezavisna varijabla (argument)
• $f(x)$ — zavisna varijabla (vrijednost funkcije)

Ključno svojstvo: Za svaki $x$ iz domene postoji jedan i samo jedan $y$. Ako jednom $x$ odgovaraju dva različita $y$-a, to nije funkcija.

Kako prepoznati funkciju na grafu?

Koristimo test okomitog pravca: ako svaka okomita crta siječe graf u najviše jednoj točki, graf prikazuje funkciju.

---

Zapisivanje funkcije

Funkciju možemo zapisati na više načina:

1. Jednadžbom (formulom)

Najčešći zapis — eksplicitna formula koja za svaki $x$ daje vrijednost $y$:

$y = 2x + 3 \qquad y = x^2 - 1 \qquad y = \frac{1}{x}$

2. Tablicom

Parovi $(x, y)$ zapisani su u tablicu:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$-1$	$1$	$3$	$5$	$7$

3. Grafom

Svaki par $(x, y)$ ucrtamo kao točku u koordinatni sustav i povežemo ih krivuljom.

4. Dijagramom (strelicama)

Strelicama prikazujemo koja se vrijednost iz domene pridružuje kojoj vrijednosti u kodomeni.

Savjet: Sva četiri zapisa opisuju istu funkciju — samo na različite načine. Važno je znati prelaziti iz jednog zapisa u drugi.

---

Zadaci za vježbu

Zadatak 1.

Ucrtaj u koordinatni sustav sljedeće točke:

$A(4, 3)$, $B(-2, 5)$, $C(-3, -1)$, $D(1, -4)$, $E(0, 2)$, $F(-5, 0)$

---

Zadatak 2.

Odredi u kojem se kvadrantu nalazi svaka od sljedećih točaka:

a) $P(7, -3)$

b) $Q(-2, -8)$

c) $R(-4, 6)$

d) $S(1, 9)$

---

Zadatak 3.

Izračunaj udaljenost između sljedećih parova točaka:

a) $A(1, 5)$ i $B(8, 5)$

b) $C(3, -2)$ i $D(3, 6)$

c) $E(-4, 1)$ i $F(2, 1)$

---

Zadatak 4.

Ucrtaj točke zadane tablicom u koordinatni sustav:

$x$	$-4$	$-2$	$0$	$1$	$3$	$5$
$y$	$-1$	$3$	$5$	$4$	$0$	$-2$

---

Rješenja

Zadatak 2.

a) $P(7, -3)$ — $x > 0$, $y < 0$ → IV. kvadrant

b) $Q(-2, -8)$ — $x < 0$, $y < 0$ → III. kvadrant

c) $R(-4, 6)$ — $x < 0$, $y > 0$ → II. kvadrant

d) $S(1, 9)$ — $x > 0$, $y > 0$ → I. kvadrant

---

Zadatak 3.

a) $d = |8 - 1| = 7$

b) $d = |6 - (-2)| = |6 + 2| = 8$

c) $d = |2 - (-4)| = |2 + 4| = 6$