Kompozitne funkcije

Što je kompozicija funkcija?

Kompozicija funkcija je postupak u kojem rezultat jedne funkcije postaje ulaz druge funkcije. Ako imamo funkcije $f$ i $g$, njihova kompozicija se označava kao $f \circ g$ i čita "f krug g" ili "f kompozicija g".

Definicija: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$

To znači: prvo primijeni funkciju $g$ na $x$, a zatim primijeni funkciju $f$ na rezultat.

Redoslijed je ključan: kod $(f \circ g)(x)$ funkcija $g$ se primjenjuje prva, iako se piše desno!

---

Kako izračunati $(f \circ g)(x)$?

Objašnjenje 1.

Zadane su funkcije $f(x) = 2x + 3$ i $g(x) = x^2$.

Izračunajmo $(f \circ g)(x)$.

Korak 1. Zapišemo definiciju: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$

Korak 2. Uvrstimo $g(x) = x^2$ umjesto $x$ u funkciju $f$:

$f(g(x)) = f(x^2) = 2 \cdot x^2 + 3 = 2x^2 + 3$

Rezultat: $(f \circ g)(x) = 2x^2 + 3$

---

Objašnjenje 2.

Sada izračunajmo $(g \circ f)(x)$ za iste funkcije $f(x) = 2x + 3$ i $g(x) = x^2$.

Korak 1. Zapišemo definiciju: $(g \circ f)(x) = g(f(x))$

Korak 2. Uvrstimo $f(x) = 2x + 3$ umjesto $x$ u funkciju $g$:

$g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$

Rezultat: $(g \circ f)(x) = 4x^2 + 12x + 9$

---

Važno: $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$ općenito!

U našem primjeru: $2x^2 + 3 \neq 4x^2 + 12x + 9$

Kompozicija funkcija nije komutativna — redoslijed primjene funkcija je bitan.

---

Izračunavanje kompozicije u točki

Zamisli dva stroja

Zamislite dva stroja postavljena jedan iza drugoga. Ubacite broj $x$ u prvi stroj ($g$) — on ga preradi i izbaci $g(x)$. Taj rezultat automatski ulazi u drugi stroj ($f$) — koji ga preradi i izbaci konačni rezultat $f(g(x))$.

Ako pritisnete gumb "Okreni redoslijed" i zamijenite strojeve — isti $x$ ulazi, ali sada prvo prolazi kroz $f$, pa kroz $g$. Rezultat je $g(f(x))$ — i gotovo uvijek je drugačiji!

Upravo zato je $f \circ g \neq g \circ f$ — redoslijed strojeva mijenja sve.

Objašnjenje 3.

Zadane su funkcije $f(x) = 3x - 1$ i $g(x) = x + 4$. Izračunaj $(f \circ g)(2)$.

1. način — korak po korak:

Prvo izračunamo $g(2)$:

$g(2) = 2 + 4 = 6$

Zatim izračunamo $f(6)$:

$f(6) = 3 \cdot 6 - 1 = 18 - 1 = 17$

Rezultat: $(f \circ g)(2) = 17$

2. način — preko formule:

Prvo odredimo $(f \circ g)(x)$:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 4) = 3(x + 4) - 1 = 3x + 12 - 1 = 3x + 11$

Zatim uvrstimo $x = 2$:

$(f \circ g)(2) = 3 \cdot 2 + 11 = 6 + 11 = 17$

---

Inverzna funkcija

Inverzna funkcija "poništava" ono što originalna funkcija radi. Ako funkcija $f$ pretvara $a$ u $b$, onda njezina inverzna funkcija $f^{-1}$ pretvara $b$ natrag u $a$.

Definicija: Funkcija $f^{-1}$ je inverzna funkcija funkciji $f$ ako vrijedi:

$f^{-1}(f(x)) = x$ i $f(f^{-1}(x)) = x$

Drugim riječima: $(f^{-1} \circ f)(x) = x$ i $(f \circ f^{-1})(x) = x$

Kada funkcija ima inverz? Funkcija ima inverznu funkciju samo ako je injektivna (1-1) — tj. ako različitim argumentima pridružuje različite vrijednosti. To možemo provjeriti horizontalnim testom.

---

Ključni koncept: zamjena koordinata

Ako točka $(a, b)$ pripada grafu funkcije $f$, onda točka $(b, a)$ pripada grafu funkcije $f^{-1}$.

To znači da je graf inverzne funkcije zrcalna slika grafa originalne funkcije s obzirom na pravac $y = x$.

---

Kako odrediti inverznu funkciju?

Korak 1. Zapišemo $y = f(x)$

Korak 2. Zamijenimo $x$ i $y$

Korak 3. Izrazimo $y$ — to je $f^{-1}(x)$

Objašnjenje 4.

Odredi inverznu funkciju za $f(x) = 3x - 6$.

Korak 1. $y = 3x - 6$

Korak 2. Zamijenimo: $x = 3y - 6$

Korak 3. Izrazimo $y$:

---