Graf realne funkcije

Čitanje vrijednosti s grafa

Jedna od temeljnih vještina u radu s funkcijama jest očitavanje vrijednosti s grafa. Kada imamo graf funkcije $f$ u koordinatnom sustavu, možemo iz njega iščitati:

• Vrijednost funkcije za zadani $x$ — pronađemo točku na grafu koja ima zadanu $x$-koordinatu i očitamo njezinu $y$-koordinatu. Zapisujemo $f(x) = y$.
• Argument za zadanu vrijednost funkcije — pronađemo sve točke na grafu koje imaju zadanu $y$-koordinatu i očitamo njihove $x$-koordinate.

Kako očitati $f(a)$?

1. Na osi $x$ pronađi vrijednost $a$.
2. Povuci okomicu na os $x$ kroz točku $a$.
3. Pronađi gdje ta okomica siječe graf funkcije.
4. Iz te točke povuci vodoravnu crtu do osi $y$.
5. Očitana vrijednost na osi $y$ jest $f(a)$.

Kako očitati za koji $x$ vrijedi $f(x) = b$?

1. Na osi $y$ pronađi vrijednost $b$.
2. Povuci vodoravnu crtu kroz točku $b$.
3. Pronađi sve točke u kojima ta crta siječe graf funkcije.
4. Iz svake takve točke povuci okomicu na os $x$.
5. Očitane vrijednosti na osi $x$ jesu sva rješenja jednadžbe $f(x) = b$.

Napomena: Za jedan $x$ postoji najviše jedna vrijednost $f(x)$ (po definiciji funkcije), ali za zadanu vrijednost $f(x) = b$ može postojati više argumenata $x$.

Vježbaj na interaktivnom grafu

---

Vertikalni i horizontalni test

Vertikalni test

Vertikalni test služi za provjeru je li neka krivulja u koordinatnom sustavu graf funkcije.

Postupak:

1. Zamisli (ili nacrtaj) sve moguće okomice na os $x$.
2. Promatraj koliko puta svaka okomica siječe krivulju.

Pravilo:

• Ako svaka okomica siječe krivulju u najviše jednoj točki — krivulja jest graf funkcije.
• Ako postoji barem jedna okomica koja siječe krivulju u dvije ili više točaka — krivulja nije graf funkcije.

Zašto? Po definiciji, funkcija svakom argumentu $x$ pridružuje točno jednu vrijednost $y$. Ako okomica kroz neki $x$ presijeca krivulju u više točaka, to znači da tom $x$-u pripadaju dvije ili više vrijednosti $y$, što je u suprotnosti s definicijom funkcije.

Primjer: Kružnica $x^2 + y^2 = r^2$ ne prolazi vertikalni test jer za većinu vrijednosti $x$ postoje dvije točke presjeka (gornja i donja polovica kružnice).

---

Horizontalni test

Horizontalni test služi za provjeru je li funkcija injektivna (1-1), tj. pridružuje li različitim argumentima različite vrijednosti.

Postupak:

1. Zamisli (ili nacrtaj) sve moguće vodoravne pravce (paralelne s osi $x$).
2. Promatraj koliko puta svaki vodoravni pravac siječe graf funkcije.

Pravilo:

• Ako svaki vodoravni pravac siječe graf u najviše jednoj točki — funkcija jest injektivna (1-1).
• Ako postoji barem jedan vodoravni pravac koji siječe graf u dvije ili više točaka — funkcija nije injektivna.

Što to znači u praksi? Ako je funkcija injektivna, jednadžba $f(x) = b$ ima najviše jedno rješenje za svaki $b$. Ako funkcija nije injektivna, postoje barem dva različita argumenta $x_1 \neq x_2$ za koje je $f(x_1) = f(x_2)$.

Primjer: Funkcija $f(x) = x^2$ ne prolazi horizontalni test jer npr. vodoravni pravac $y = 4$ siječe graf u dvjema točkama: $x = -2$ i $x = 2$.

Primjer: Funkcija $f(x) = 2x + 1$ prolazi horizontalni test jer svaki vodoravni pravac siječe pravac u točno jednoj točki — ta je funkcija injektivna.

---

Domena i slika s grafa

Iz grafa funkcije možemo očitati njezinu domenu (skup svih dopuštenih argumenata) i sliku (skup svih vrijednosti koje funkcija poprima).

Domena funkcije ($D_f$)

Domena je skup svih vrijednosti $x$ za koje funkcija postoji, tj. za koje graf ima točku.

Kako očitati domenu s grafa:

1. Promatraj graf slijeva nadesno (duž osi $x$).
2. Odredi najmanji i najveći $x$ za koji graf postoji.
3. Provjeri jesu li rubne točke uključene (puna točka) ili isključene (prazna točka).

Primjer: Ako graf počinje punom točkom u $x = -3$ i završava praznom točkom u $x = 5$, tada je $D_f = [-3, 5\rangle$.

Napomena: Ako graf s jedne ili obje strane ima strelicu, to znači da se nastavlja u beskonačnost. Na primjer, $D_f = \langle -\infty, +\infty \rangle = \mathbb{R}$.

---

Slika funkcije ($S_f$)

Slika je skup svih vrijednosti $y$ koje funkcija poprima, tj. skup svih $y$-koordinata točaka na grafu.

Kako očitati sliku s grafa:

1. Promatraj graf odozdo prema gore (duž osi $y$).
2. Odredi najmanju i najveću vrijednost $y$ koju graf doseže.
3. Provjeri jesu li rubne vrijednosti uključene ili isključene.

Primjer: Ako je najniža točka grafa u $y = -1$ (puna točka), a najviša u $y = 7$ (puna točka), tada je $S_f = [-1, 7]$.

Napomena: Slika ne mora biti jedan interval. Ako graf ima prekide ili "rupe", slika može biti unija više intervala.

---

Kako razlikovati domenu i sliku?

	Domena ($D_f$)	Slika ($S_f$)
Os	os $x$	os $y$
Pitanje	Za koje $x$ postoji graf?	Koje $y$ graf doseže?
Projekcija	Graf projiciramo na os $x$	Graf projiciramo na os $y$

Primjer: Za funkciju $f(x) = x^2$ na cijelom $\mathbb{R}$:

• $D_f = \mathbb{R}$ — graf postoji za svaki $x$
• $S_f = [0, +\infty\rangle$ — najmanja vrijednost je $0$ (u tjemenu parabole), a graf raste prema $+\infty$

---