Graf funkcije y = |x|: Objašnjenje i primjeri

Što je apsolutna vrijednost?

Apsolutna vrijednost broja $x$ označava se s $|x|$ i predstavlja udaljenost broja $x$ od nule na brojevnom pravcu.

$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$

Primjeri: $|3| = 3$, $|-5| = 5$, $|0| = 0$.

Apsolutna vrijednost je uvijek nenegativna: $|x| \geq 0$ za svaki $x$.

---

Graf funkcije $y = |x|$

Graf funkcije $y = |x|$ jednak je grafu $y = x$ za $x \geq 0$ i grafu $y = -x$ za $x < 0$.

Funkcija $y = |x|$ sastoji se od dva dijela:

• za $x \geq 0$: $y = x$ (pravac s nagibom 1)
• za $x < 0$: $y = -x$ (pravac s nagibom $-1$)

Graf ima oblik slova V s vrhom u ishodištu $(0, 0)$.

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Graf funkcije $y = |x|$ simetričan je s obzirom na os $y$.

Kako nacrtati graf

Nacrtamo pravac $y = x$, a zatim dio pravca koji je ispod osi $x$ zrcalimo na os $x$ — jer funkcija apsolutne vrijednosti svaku negativnu vrijednost pretvara u pozitivnu istoga apsolutnog iznosa.

---

Svojstva funkcije $y = |x|$

• Domena: $\mathbb{R}$ (svi realni brojevi)
• Slika: $[0, +\infty\rangle$ (sve nenegativne vrijednosti)
• Nultočka: $x = 0$
• Minimum: $y = 0$ u točki $(0, 0)$
• Simetrija: parna funkcija — $f(-x) = f(x)$
• Monotonost: padajuća za $x < 0$, rastuća za $x > 0$

---

Pomak: $y = |kx + l|$

Graf funkcije $f(x) = |kx + l|$ nacrtamo tako da nacrtamo pravac $y = kx + l$ i zrcalimo njegov dio koji je ispod osi $x$ s obzirom na os $x$.

Primjer: $y = |2x + 4|$

Kako je $|2x + 4| = 2x + 4$ za $x \geq -2$ i $-2x - 4$ za $x < -2$, crtamo:

• $y = 2x + 4$ za $x \geq -2$
• $y = -2x - 4$ za $x < -2$

Vrh V-oblika je u nultočki pravca $y = 2x + 4$, tj. u točki $(-2, 0)$.

Kako nastaje V-oblik? Animirana refleksija

Odaberi primjer iz izbornika ($y = |2x + 4|$, $y = |3x - 3|$, $y = |x - 1|$) i pritisni Animiraj.

Dio pravca ispod osi $x$ glatko se savija prema gore — nultočka pravca ostaje fiksna kao šarka savijanja. Isprekidani (dashed) pravac ostaje vidljiv ispod V-oblika tako da možeš usporediti "prije i poslije".

• Plavi krak — dio gdje je $kx + l \geq 0$, nagib $+k$
• Narančasti krak — reflektirani dio, nagib $-k$
• Nultočka → Vrh: ista točka, nova uloga — nultočka pravca $x = -\frac{l}{k}$ postaje vrh V-oblika $\left(-\frac{l}{k},\; 0\right)$

Gumb Poništi vraća prikaz na isprekidani pravac.

---

Transformacije grafa $y = |x|$

Vertikalni pomak: $y = |x| + q$

• $q > 0$ → graf se pomiče gore za $q$ jedinica
• $q < 0$ → graf se pomiče dolje za $|q|$ jedinica
• Vrh V-oblika je u točki $(0, q)$

Horizontalni pomak: $y = |x - p|$

• $p > 0$ → graf se pomiče udesno za $p$ jedinica
• $p < 0$ → graf se pomiče ulijevo za $|p|$ jedinica
• Vrh V-oblika je u točki $(p, 0)$

Pazi na razliku: $|x| + 1$ vs. $|x + 1|$

$|x| + 1$ pomiče graf gore za 1 (vrh u $(0, 1)$), a $|x + 1|$ pomiče graf ulijevo za 1 (vrh u $(-1, 0)$). Usporedi grafove jedan pored drugoga.

Rastezanje i sužavanje: $y = a|x|$

• $a > 1$ → graf je uži (strmiji)
• $0 < a < 1$ → graf je širi (položeniji)
• $a < 0$ → graf je okrenut prema dolje (oblik ∧)

Opći oblik: $y = a|x - p| + q$

Vrh V-oblika je u točki $(p, q)$, a koeficijent $a$ određuje širinu i smjer otvaranja.

---

Jednadžbe s apsolutnom vrijednošću

Za rješavanje jednadžbe $|x| = b$:

• Ako je $b > 0$: dva rješenja, $x = b$ i $x = -b$
• Ako je $b = 0$: jedno rješenje, $x = 0$
• Ako je $b < 0$: nema rješenja

Primjer: Riješite $|x - 3| = 5$.

Dva slučaja:

1. $x - 3 = 5 \Rightarrow x = 8$
2. $x - 3 = -5 \Rightarrow x = -2$

Rješenja su $x \in \{-2, 8\}$.

---

Nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću

• $|x| < b$ (za $b > 0$) → $-b < x < b$
• $|x| > b$ (za $b > 0$) → $x < -b$ ili $x > b$

Primjer: Riješite $|2x - 1| \leq 3$.

$-3 \leq 2x - 1 \leq 3$ $-2 \leq 2x \leq 4$ $-1 \leq x \leq 2$

Rješenje: $x \in [-1, 2]$.